高考数学一轮复习统考 第2章 函数与基本初等函数 第8讲 函数与方程学案（含解析）北师大版-北师大版高三全册数学学案

第 8 讲 函数与方程基础知识整合1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 y＝f(x)(x∈区间 D)，把使□f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈区间 D)的零点．(2)三个等价关系方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与□x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有□零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有□f ( a )· f ( b )<0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间□( a ， b ) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得□f ( c ) ＝ 0 ，这个□c 也就是方程 f(x)＝0 的根．2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴的交点□( x 1,0) ， ( x 2,0)□( x 1,0)无交点零点个数□2□1□0有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程 f(x)＝0 的实根．(5)由函数 y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以 f(a)·f(b)<0 是 y＝f(x)的闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．1．(2020·云南玉溪一中二调)函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)答案 B解析 易知函数 f(x)＝2x＋3x 在定义域上单调递增，且 f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以由零点存在性定理得，零点所在的区间是(－1，0)．故选 B．2．(2019·全国卷Ⅲ)函数 f(x)＝2sinx－sin2x 在[0,2π]的零点个数为( )A．2B．3C．4D．5答案 B解析 令 f(x)＝0，得 2sinx－sin2x＝0，即 2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0 或 cosx＝1.又 x∈[0,2π]，∴由 sinx＝0 得 x＝0，π 或 2π，由 cosx＝1得 x＝0 或 2π.故函数 f(x)的零点为 0，π，2π，共 3 个．故选 B．3．函数 f(x)＝2x－－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是( )A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)答案 C解析 因为 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得 f(1)·f(2)＝(0－a...