第 2 讲 等差数列及其前 n 项和基础知识整合1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 an＋1－ a n＝ d (n∈N*，d 为常数)．(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝，其中 A 叫做 a，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋ ( n － 1) d .(2)前 n 项和公式：Sn＝na1＋d＝.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an.若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 am＋an＝2ap.(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md 的等差数列．(6)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等差数列，其公差为n2d.(7)若等差数列的项数为 2n(n∈N*)，则 S 偶－S 奇＝nd，＝.(8)若等差数列的项数为 2n－1(n∈N*)，则 S 奇－S 偶＝an，＝(S 奇＝nan，S 偶＝(n－1)an)．(9)若 Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则 Sm＋n＝－(m＋n)．(10)由公式 Sn＝na1＋得＝a1＋d＝n＋a1－，因此数列是等差数列，首项为 a1，公差为等差数列{an}公差的一半．(11)等差数列与函数的关系①an＝a1＋(n－1)d 可化为 an＝dn＋a1－d 的形式．当 d≠0 时，an是关于 n 的一次函数．当 d>0 时，数列为递增数列；当 d<0 时，数列为递减数列．②Sn＝n2＋n.当 d≠0 时，它是关于 n 的二次函数．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)． 1．(2019·河北邯郸模拟)在等差数列{an}中，a3＋a4＝12，公差 d＝2，则 a9＝( )A．14 B．15 C．16 D．17答案 D解析 ⇒a1＝1，∴a9＝a1＋8d＝1＋16＝17.故选 D.2．(2019·全国卷Ⅰ)记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则( )A．an＝2n－5 B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n答案 A解析 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d.由 S4＝0，a5＝5 可得解得所以 an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.故选 A.3．(2019·湖北武汉调研)若等差数列{an}的前 n 项和 Sn满足 S4＝4，S6＝12，则 S2＝( )A．－1 B．0 ...
