第 3 讲 等比数列及其前 n 项和基础知识整合1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为＝q.(2)等比中项如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，即 G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒G 2 ＝ ab ( ab ≠0) ． 2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1q n － 1 .(2)前 n 项和公式：Sn＝等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap·aq＝a.(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.(5)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…成等比数列(m∈N*)．(6)若等比数列的项数为 2n(n∈N*)，公比为 q，奇数项之和为 S 奇，偶数项之和为 S 偶，则＝q.(7)公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 qn.(8)等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列． 1．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4 项和为 15，且 a5＝3a3＋4a1，则 a3＝( )A．16 B．8 C．4 D．2答案 C解析 由题意知解得∴a3＝a1q2＝4.故选 C.2．(2019·广西柳州模拟)设等比数列{an}中，公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则的值为( )A. B. C. D.答案 A解析 S4＝＝15a1，a3＝a1q2＝4a1，∴＝.故选 A.3．若等比数列{an}满足 anan＋1＝16n，则公比为( )A．2 B．4 C．8 D．16答案 B解析 由 anan＋1＝16n，得 an＋1·an＋2＝16n＋1.两式相除得，＝＝16，∴q2＝16. anan＋1＝16n，可知公比为正数，∴q＝4.4．(2019·长春模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，且 a2＝－2，则 a7＝( )A．16 B．32 C．64 D．128答案 C解析 由题意得 Sn＋2＋Sn＋1＝2Sn，得 an＋2＋an＋1＋an＋1＝0，即 an＋2＝－2an＋1，∴{an}从第二项起是公比为－2 的等比数列，∴a7＝a2q5＝64.故选 C.5．已知{an}是等比数列，且 an>0，a2a4＋2a3a5＋...
