数学分析 PPT 电子课件教案-第十八章 极值与条件极值 1、第十八章:极值与条件极值,第一节极值与最小二乘法,一、多元函数的极值,定义:若函数,则称函数在该点取得极大值(微小值).,例如:,在点(0,0)有微小值;,在点(0,0)有极大值;,在点(0,0)无极值.,极大值和微小值,统称为极值,,使函数取得极值的点称为极值点.,,的某邻域内有,说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.,例如,,定理 1(必要条件),函数,偏导数,,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值,,取得极值,取得极值,但驻点不肯定是极值点.,有驻点(0,0),,但在该点不取极值.,且在该点取得极值, 2、,则有,存在,故,定理 2(充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,若函数,二、最值应用问题,,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可到达最值,,最值可疑点,稳定点，偏导数不存在的点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点 P 时,,为微小值,,为最小值,(大),(大),根据,第二节条件极值与拉格朗日乘数法,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条件极值:,条件极值的求法:,方法 1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,,还有其它条件限制,例如,, 3、,方法 2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述,,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,,极值点必满足,设,记,例如,,故,故有,引入帮助函数,帮助函数 F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,极值点必满足,,则极值点满足:,,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,例 1.求满足约束条件,的最大值。,解：作拉格朗日函数：,令,即，稳定点：,由实际问题知所求最大值必存在，而稳定点又唯一，因此唯一的稳定点就是最大值点。故球内接长方体中以正方体的体积最大。,例 2.求在约束条件,下的微小值；,并证明不等式：,解：作拉 4、格朗日函数：,令,即，稳定点：,下面判别稳定点是极值点,记,则,故方程,在稳定点附近可唯一确定可微数,令,如今用二元函数取极值的充分条件判别,是的极值点。,由约束条件得：,从而,故在点有,.因此在取微小值,,这等价于在取微小值,分析约束集,是一无界集。当在内远离原点时，函数将趋于正无,穷。因此，函数的唯一微小值点是函数的最小值点，即,代入得，,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,例如,求函数,下的极值.,在条件,,内容小节,1.函数的极值问题,第一步利...
