2025 春高中数学 章末整合提升 1 新人教 A 版必修 5基 础 巩 固一、选择题1．(2025·北京丰台区二模)已知 a，b，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，b＝，c＝，B＝，那么 a 等于( C )A．1B．2 C．4D．1 或 4[解析] 在△ABC 中，b＝，c＝，cosB＝，由余弦定理有 b2＝a2＋c2－2accosB，即 7＝a2＋3－3a，解得 a＝4 或 a＝－1(舍去)．故 a 的值为 4.2．在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则 A＝( A )A．30°B．60° C．120°D．150°[解析] 由余弦定理得：cosA＝，由题知 b2－a2＝－bc，c2＝2bc，则 cosA＝，又 A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选 A．3．三角形两边之差为 2，夹角的余弦值为，面积为 14，那么这个三角形的此两边长分别是( D )A．3 和 5B．4 和 6 C．6 和 8D．5 和 7[解析] 设夹角为 A， cosA＝，∴sinA＝，S＝bcsinA＝14，∴bc＝35，又 b－c＝2，∴b＝7，c＝5.4．设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为( B )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[ 解 析 ] 由 正 弦 定 理 ， 得 sinBcosC ＋ sinCcosB ＝ sin2A ， 所 以 sin(B ＋ C) ＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而 sinA>0，∴sinA＝1，A＝，所以△ABC 是直角三角形．5．如图所示，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出AC 的距离为 50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算 A、B 两点的距离为( A )A．50mB．50mC．25mD．m[解析] 由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理得，＝，∴AB＝＝＝50(m)．6．(2025·合肥市质检)已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c，且满足 b＋c≤3a，则的取值范围为( B )A．(1，＋∞)B．(0,2)C．(1,3)D．(0,3)[解析] 依题意得 c
