【创新设计】（浙江专用）2025-2025 高中数学 章末检测卷（二）新人教版必修 4 (时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题1.已知点 A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为( )A. B.C. D.解析 AB＝(3，－4)，|AB|＝5，∴＝.故选 A.答案 A2.在下列向量组中，可以把向量 a＝(3，2)表示出来的是( )A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)解析 法一 若 e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则 e1∥e2，而 a 不能由 e1，e2表示，排除 A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为≠，所以 e1，e2不共线，根据共面对量的基本定理，可以把向量 a＝(3，2)表示出来，故选 B.法二 因为 a＝(3，2)，若 e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1＋μe2，排除 A；若 e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，设存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1＋μe2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以解得所以 a＝2e1＋e2，故选 B.答案 B3.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C、D 等分AB，已知AB＝a，AC＝b，则AD等于( )A.a－b B.a－bC.a＋b D.a＋b解析 连接 OC、OD、CD，则△OAC 与△OCD 为全等的等边三角形，所以四边形 OACD 为平行四边形，所以AD＝AO＋AC＝AB＋AC＝a＋b，故选 D.答案 D4.设 x，y∈R，向量 a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )A. B. C.2 D.10解析 因为 a⊥c，b∥c，所以有 2x－4＝0 且 2y＋4＝0，解得 x＝2，y＝－2，即 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，所以 a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝，选 B.答案 B5.设非零向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则 a，b 的夹角为( )A.150° B.120° C.60° D.30°解析 设|a|＝m(m>0)，a，b 的夹角为 θ，由题设知(a＋b)2＝c2，即 2m2＋2m2cos θ＝m2，得 cos θ＝－.又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝120°，即 a，b 的夹角为 120°，故选B.答案 B6.如图，|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则等于( )A. B.3 C. D.解析 |OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，∴OA⊥OB，且∠OBC＝30°.又 ∠AOC＝30°，∴OC⊥AB.∴(mOA＋nOB)·(OB－OA)＝0，∴－mOA2＋nOB2＝0，∴3n－m＝0，即 m＝3n，∴＝3.答案 B7.已知点 O 为△ABC 所在平面内一点，且OA2＋BC2＝OB2＋CA2＝O...
