三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质VIP专享

三角形“四心”向量形式得充要条件应用1、O 就是得重心;若Ｏ就是得重心,则故;为得重心、2、O 就是得垂心;若 O 就是(非直角三角形)得垂心,则故3、O 就是得外心(或)若Ｏ就是得外心则故4、Ｏ就是内心得充要条件就是引进单位向量,使条件变得更简洁。假如记得单位向量为,则刚才 O 就是内心得充要条件可以写成 ,Ｏ就是内心得充要条件也可以就是 。若 O 就是得内心,则 故 ;就是得内心;向量所在直线过得内心(就是得角平分线所在直线); (一)将平面对量与三角形内心结合考查例１、O 就是平面上得一定点,A,B,C 就是平面上不共线得三个点,动点 P 满足,则 P 点得轨迹一定通过得( )(Ａ)外心(Ｂ)内心(C)重心(D)垂心解析:因为就是向量得单位向量设与方向上得单位向量分别为, 又,则原式可化为,由菱形得基本性质知 A Ｐ平分,那么在中,Ａ P 平分,则知选 B、 (二)将平面对量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例２、 Ｈ就是△AB Ｃ所在平面内任一点,点 H 就是△AB Ｃ得垂心。由,同理,、故 H 就是△Ａ BC 得垂心、 (反之亦然(证略))例３。(湖南)P 就是△Ａ BC 所在平面上一点,若,则 P 就是△ＡＢ C 得(Ｄ )A、外心 ﻩＢ、内心 Ｃ、重心 D、垂心解析:由。即则 所以 P 为得垂心。 故选 D。 (三)将平面对量与三角形重心结合考查“重心定理"例 4。 G 就是△AB Ｃ所在平面内一点,＝0 点 G 就是△ABC 得重心、证明 作图如右,图中连结 B Ｅ与 C Ｅ,则 CE＝GB,BE=GCB Ｇ CE 为平行四边形 D 就是 BC 得中点,A Ｄ为 BC 边上得中线、将代入=0,得=0,故 G 就是△Ａ BC 得重心、(反之亦然(证略))例 5。 P 就是△ABC 所在平面内任一点、Ｇ就是△A ＢＣ得重心。证明 Ｇ就是△ＡＢ C 得重心 ∴=0=0,即由此可得。(反之亦然(证略))ACBCCPAB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF例 6 若 为内一点, ,则 就是 得( )A、内心 B。外心 C、垂心 D、重心 解析:由得,如图以Ｏ B、O Ｃ为相邻两边构作平行四边形,则,由平行四边形性质知,,同理可证其它两边上得这个性质,所以就是重心,选 D。(四) 将平面对量与三角形外心结合考查例 7 若 为内一点,,则 就是 得( )A、内心 B。外心 C。垂心 D、重心解析:由向量模得定义知到得三顶点距离相等。故 就是 得外心 ,选 B。 (五)将平面对量与三角形四心结合考查例 8、已知向量,,满足条件++=0,||＝｜|=｜|＝1,求证 △P1P2P3就是正三角形。(《数学...