第 1 讲 坐标系与参数方程 考点 1 极坐标1．极坐标与直角坐标的互化设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：或顺便指出，上式对 ρ<0 也成立．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．2．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为 R 的圆的极坐标方程为 ρ＝R.(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ＝2acosθ.(3)圆心在点处且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ＝2asinθ.[例 1] [2019·全国卷Ⅲ][选修 4—4：坐标系与参数方程]如图，在极坐标系 Ox 中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线 M1是弧，曲线 M2是弧，曲线 M3是弧.(1)分别写出 M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线 M 由 M1，M2，M3构成，若点 P 在 M 上，且|OP|＝，求 P 的极坐标．【解析】 本题主要考查极坐标方程的求解，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为 ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以 M1的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为 ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为 ρ＝－2cos θ.(2)设 P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若 0 ≤θ≤，则 2cos θ＝，解得 θ＝；若≤θ≤，则 2sin θ＝，解得 θ＝或 θ＝；若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得 θ＝.综上，P 的极坐标为或或或.(1)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差 2π 的整数倍)，一般取θ∈[0,2π)．(2)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境.『对接训练』1．[2019·全国卷Ⅱ][选修 4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O 为极点，点 M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线 C：ρ＝4sin θ 上，直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直，垂足为 P.(1)当 θ0＝时，求 ρ0及 l 的极坐标方程；(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．解析：本题主要考查直线的极坐标方程、轨迹方程的求解，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)因为 M(ρ0，θ0)在 C 上，当 θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.设 Q(ρ，θ)为 l 上除 P 的任意一点．连接 OQ，在 Rt△OPQ...
