第 2 讲 圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题 [考情考向·高考导航]圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．对圆锥曲线方程与性质的考查，以选择题、填空题为主，对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识交汇命题，多以解答题的形式出现．[真题体验]1．(2019·全国Ⅱ卷)若拋物线 y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1 的一个焦点，则 p＝( )A．2 B．3C．4 D．8解析：D [由椭圆＋＝1，知半焦距 c＝＝，∴＝，∴p＝8.]2．(2019·全国Ⅱ卷)设 F 为双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则 C 的离心率为( )A. B.C．2 D.解析：A [以 OF 为直径的圆为 2＋y2＝，即 x2＋y2－cx＝0，与圆 x2＋y2＝a2相减得直线 PQ 的方程为 x＝，由勾股定理得：＝＝，∴|PQ|＝＝c，∴2ab＝c2，平方得：4a2b2＝c4，∴4a2(c2－a2)＝c4，化简得：e4－4e2＋4＝0，∴e2＝2，即 e＝.]3．(2018·全国Ⅱ卷)已知 F1，F2是椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点P 在过 A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则 C 的离心率为( )A. B.C. D.解析：D [如图直线 AP 的方程为 y＝(x＋a)， ①直线 PF2的方程为 y＝(x－c)，②① 与②联立解得：x＝，y＝(a＋c)，∴P，∴|PF2|＝ ＝(a＋c)，又 |PF2|＝|F1F2|，∴(a＋c)＝2c，∴a＝4c，∴e＝＝.]4．(2018·全国Ⅲ卷)已知点 M(－1,1)和抛物线 C：y2＝4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线1与 C 交于 A，B 两点．若∠AMB＝90°，则 k＝________.解析：设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，由得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．则 x1＋x2＝，x1·x2＝1. ∠AMB＝90°，∴kMA·kMB＝－1解·＝－1.化简得 k2－4k＋4＝0，解得 k＝2.答案：2[主干整合]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)拋物线：|MF|＝d(d 为 M 点到准线的距离)．应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)(焦点在 x 轴上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦点在 y 轴上)；(2)双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 x 轴上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦点...
