规范答题示例 8 函数的单调性、极值与最值问题典例 8 (12 分)已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 时，求 a 的取值范围．审题路线图 ―――→―→―→.规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a(x>0).若 a≤0，则 f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增.若 a>0，则当 x∈时，f′(x)>0；当 x∈时，f′(x)<0.所以 f(x)在上单调递增，在上单调递减.5 分所以当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当 a>0 时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.6 分(2)由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值，不合题意；当 a>0 时，f(x)在 x＝处取得最大值，最大值为 f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.因此 f>2a－2 等价于 ln a＋a－1<0.9 分令 g(a)＝ln a＋a－1，则 g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当 0
1 时，g(a)>0.因此，a 的取值范围是(0,1).12 分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数.第二步定符号：通过讨论确定f′(x)的符号.第三步写区间：利用 f′(x)的符号确定函数的单调性.第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则 (1)函数求导正确给 1 分；(2)分类讨论，每种情况给 2 分，结论 1 分；(3)求出最大值给 2 分；(4)构造函数 g(a)＝ln a＋a－1 给 2 分；(5)通过分类讨论得出 a 的范围，给 2 分．跟踪演练 8 (2018·全国Ⅱ)已知函数 f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若 a＝3，求 f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．(1)解 当 a＝3 时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令 f′(x)＝0，解得 x＝3－2 或 x＝3＋2.当 x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；当 x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.故 f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2)．(2)证明 因为 x2＋x＋1>0 在 R 上恒成立，所以 f(x)＝0 等价于－3a＝0.设 g(x)＝－3a，则 g′(x)＝≥0 在 R 上恒成立，当且仅当 x＝0 时 g′(x)＝0，所以 g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点．又 f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，f(3a＋1)＝>0，故 f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．
