第三节 函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f ( - x ) = f ( x ) ,那么函数 f(x)是偶函数关于 y 轴 对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f ( - x ) =- f ( x ) ,那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称. (2)考察表达式 f(-x)是否等于 f(x)或-f(x):若 f(-x)=- f ( x ) ,则 f(x)为奇函数;若 f(-x)=f ( x ) ,则 f(x)为偶函数;若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数;若 f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x),则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数,既非奇非偶函数. 3.周期性(1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f ( x + T ) = f ( x ) ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作 f(x)的最小正周期.4.函数奇偶性常用结论(1)若函数 f(x)是奇函数且 x=0 处有定义,则 f(0)=0.(2)如果函数 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(|x|).(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.(5)y=f(x+a)是奇函数,则 f(-x+a)=-f(x+a);y=f(x+a)是偶函数,则 f(-x+a)=f(x+a).5.函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x:(1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a(a>0).(2)若 f(x+a)=,则 T=2a(a>0).(3)若 f(x+a)=-,则 T=2a(a>0).6.函数的对称性常见的结论(1)函数 y=f(x)关于 x=对称⇔f(a+x)=f(b-x)⇔f(x)=f(b+a-x).特殊:函数 y=f(x)关于 x=a 对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x);函数 y=f(x)关于 x=0 对称⇔f(x)=f(-x)(即为偶函数).(2)函数 y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)...