第 16 讲 导数与函数的综合问题考纲要求考情分析命题趋势1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题．2．会利用导数解决实际问题.2017·全国卷Ⅰ，212017·全国卷Ⅱ，212016·四川卷，21考查导数在研究函数中的应用，并应用导数的方法探求一些与不等式、函数、数列有关的综合问题，题目难度较大.分值：12～14 分1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式．反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．4．导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题．(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( × )(2)函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴最多有 3 个交点，最少有一个交点．( √ )(3)函数 F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于 0，则 f(x)＞g(x)．( √ )(4)“存在 x∈(a，b)，使 f(x)≥a”的含义是“任意 x∈(a，b)，使 f(x)≥a”．( × )2．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( C )A．13 万件 B．11 万件C．9 万件 D．7 万件解析 y′＝－x2＋81，令 y′＝0，得 x＝9 或 x＝－9(舍去)，当 x∈(0,9)时，y′＞0，当 x∈(9，＋∞)时，y′＜0，则当 x＝9 时，y 有最大值，即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件．3．已知函数 f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续，且 f′(x)
