3.2 导数的应用(一)考情分析高考中多以解答题的形式考查，利用导数研究函数单调性、单调区间和极值点、极值的方法，通常驻综合性较强，难度中档或以上.基础知识1.函数的导数与单调性在某个区间内，若>0，则函数在这个区间内单调递增；若<0, 则函数在这个区间内单调递减.2.函数的导数与极值（1）极大值：如果在附近的左侧>0，右侧<0，且=0，那么是极大值；（2）极小值：如果在附近的左侧<0，右侧>0，且=0，那么是极小值；注意事项1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点． 2.(1)f′(x)＞0 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是函数 f(x)在 x＝x0处有极值的必要不充分条件．3.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f′(x)；(3)由 f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的 x 的范围．当 f′(x)＞0 时，f(x)在相应的区间上是增函数；当 f′(x)＜0 时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．题型一 求曲线切线的方程【例 1】►已知函数 f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线 f(x)在 x＝2 处的切线方程；(2)求经过点 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程．解 (1)f′(x)＝3x2－8x＋5f′(2)＝1，又 f(2)＝－2∴曲线 f(x)在 x＝2 处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即 x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)f′(x0)＝3x－8x0＋5则切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，又切线过(x0，x－4x＋5x0－4)点，则 x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得 x0＝2，或 x0＝1，因此经过 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程为 x－y－4＝0，或 y＋2＝0.【变式 1】 若直线 y＝kx 与曲线 y＝x3－3x2＋2x 相切，试求 k 的值．解 设 y＝kx 与 y＝x3－3x2＋2x 相切于 P(x0，y0)则y0＝kx0，①y0＝x－3x＋2x0，②又 y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y′|x＝x0＝3x－6x0＋2，③由①②③得：(3x－6x0＋2)x0＝x－3x＋2x0，即(2x0－3)x＝0.∴x0＝0 或 x0＝，∴k＝2 或 k＝－.题型二 函数的单调性与导数【例 2】 ►已知函数 f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若 x＝3 是 f(x)的极值点，求 f(x)的单调区间．解 (1)对 f(x)求导，得 f′(x)＝3x2－2ax－3.由 f′(x)≥...
