7.4 基本不等式考情分析 基本不等式的应用是高考考查的重点，包括利用基本不等式解决函数的最大 （小）值问题和简单的证明问题，基本不等式在高考中，还会与几何、函数、数列、倒数、三角等知识相结合。其作用在于求最值，往往在解答题中体现的较多。基础知识1.重要不等式：如果 a、b∈R，那么 a 2＋b 2 ≥2ab（当且仅当 a＝b 时取“＝”号）2.定理：如果 a，b 是正数，那么 ≥（当且仅当 a＝b 时取“＝”号）3、常用不等关系：ab≤， 注意事项1.运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤；≥(a，b＞0)逆用就是 ab≤2(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．2.(1)≥2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号)；(2) ≥≥≥(a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．3(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 题型一 利用基本不等式求最值【例 1】若向量 a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则 9x＋3y的最小值为( )A. 12 B. 2C. 3 D. 6答案：D解析：依题意得 4(x－1)＋2y＝0，即 2x＋y＝2,9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝2＝6，当且仅当 2x＝y＝1 时取等号，因此 9x＋3y的最小值是 6，选 D.【变式 1】 (1)已知 x＞1，则 f(x)＝x＋的最小值为________．(2)已知 0＜x＜，则 y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若 x，y∈(0，＋∞)且 2x＋8y－xy＝0，则 x＋y 的最小值为________．解析 (1) x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3 当且仅当 x＝2 时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)， 0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤2＝1，∴y≤，当且仅当 5x＝2－5x，即 x＝时，ymax＝.(3)由 2x＋8y－xy＝0，得 2x＋8y＝xy，∴＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋2×2× ＝18，当且仅当＝，即 x＝2y 时取等号，又 2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，∴当 x＝12，y＝6 时，x＋y 取最小值 18.答案 (1)3 (2) (3)18题型二 利用基本不等式证明不等式【例 2】已知 a>0...
