8.8 立体几何中的向量方法(二)考情分析考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小．基础知识1．空间的角(1)异面直线所成的角如图，已知两条异面直线 a、b，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b.则把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．① 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是 0°的角．(3)二面角的平面角如图在二面角 αlβ 的棱上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则∠AOB 叫做二面角的平面角．2．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线 l1，l2 的方向向量分别为 m1，m2，则 l1 与 l2 的夹角 θ 满足 cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 α 的夹角 θ 满足 sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小(ⅰ)如图①，AB、CD 是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大 小 θ＝〈AB，CD〉．(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．注意事项1.(1)异面直线所成的角的范围是；(2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的范围是[0，π]．2.利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α、β 的法向量 n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．题型一 求异面直线所成的角【例 1】已知 ABCDA1B1C1D1是底面边长为 1 的正四棱柱，高 AA1＝2，求(1)异面直线 BD 与 AB1所成角的余弦值；解 (1)如图建立空间直角坐标系 A1xyz，由已知条件：B(1,0,2)，D(0,1,2)，A(0,0,2)，B1(1,0,0)．则BD＝(－1,1,0)，AB1＝(1,0，－2)设异面直线 BD 与 AB1所成角为 θ，cos θ＝|cos〈BD，AB1〉|＝.(2)VAB1D1C＝VABCDA1B1C1D1－4VCB1C1D1＝.【变式 1】已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 C1D1的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为________．解析 如图建立直角坐标系 Dxyz，设 DA＝1，由已知条件A(1,0,0)，E，B(1,1,0)...
