第 2 课时 利用导数证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式 f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数 h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如 lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx0)，≤ln(x＋1)≤x(x>－1)；(3)特征分析构造法：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和 g(x)，利用其最值求解．方法 1 直接构造差函数法【例 1】 已知函数 f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx(e 为自然对数的底数)，若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)的一个公共点是 A(1,1)，且在点 A 处的切线互相垂直．(1)求 a，b 的值；(2)求证：当 x≥1 时，f(x)＋g(x)≥.【解】 (1)因为 f(x)＝1－，所以 f′(x)＝，f′(1)＝－1.因为 g(x)＝＋－bx，所以 g′(x)＝－－－b.因为曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)的一个公共点是 A(1,1)，且在点 A 处的切线互相垂直，所以 g(1)＝1，且 f′(1)·g′(1)＝－1，即 g(1)＝1＋a－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，解得 a＝－1，b＝－1.(2)证明：由(1)知，g(x)＝－＋＋x，则 f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0.令 h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，则 h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1.因为 x≥1，所以 h′(x)＝＋＋1>0，所以 h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以 h(x)≥h(1)＝0，即 1－－－＋x≥0，所以当 x≥1 时，f(x)＋g(x)≥.方法技巧待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造 “左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证.已知函数 f(x)＝x2e2x－2.(1)求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当 x∈[0,2]时，求证：f(x)≥－2x2＋8x－5.解：(1)f′(x)＝2e2x－2(x2＋x)，f′(1)＝4，f(1)＝1，则曲线 y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝4(x－1)，即 y＝4x－3.(2)证明：当 x∈[0,2]时，令 g(x)＝x2e2x－2＋2x2－8x＋5，则 g′(x)＝2e2x－2(x2＋x)＋4x－8，令 h(x...
