第 3 课时 导数与函数的零点问题1．两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0.① 直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明 f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明 f(a)·f(b)<0.2．已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从 f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．考向一 判断或证明函数零点个数【例 1】 (2019·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f′(x)为 f(x)的导数，证明：(1)f′(x)在区间(－1，)存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有 2 个零点．【解】 (1)设 g(x)＝f′(x)，则 g(x)＝cosx－，g′(x)＝－sinx＋.当 x∈(－1，)时，g′(x)单调递减，而 g′(0)>0，g′()<0，可得 g′(x)在(－1，)有唯一零点，设为 α.则当 x∈(－1，α)时，g′(x)>0；当 x∈(α，)时，g′(x)<0.所以 g(x)在(－1，α)单调递增，在(α，)单调递减，故 g(x)在(－1，)存在唯一极大值点，即 f′(x)在(－1，)存在唯一极大值点．(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．(ⅰ)当 x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)单调递增，而 f′(0)＝0，所以当 x∈(－1,0)时，f′(x)<0，故 f(x)在(－1,0)单调递减．又 f(0)＝0，从而 x＝0 是 f(x)在(－1,0]的唯一零点．(ⅱ)当 x∈(0，]时，由(1)知，f′(x)在(0，α)单调递增，在(α，)单调递减，而 f′(0)＝0，f′()<0，所以存在 β∈(α，)，使得 f′(β)＝0，且当 x∈(0，β)时，f′(x)>0；当 x∈(β，)时，f′(x)<0.故 f(x)在(0，β)单调递增，在(β，)单调递减．又 f(0)＝0，f()＝1－ln(1＋)>0，所以当x∈(0，]时，f(x)>0.从而，f(x)在(0，]没有零点．(ⅲ)当 x∈(，π]时，f′(x)<0，所以 f(x)在(，π)单调递减．而 f()>0，f(π)<0，所以 f(x)在(，π]有唯一零点．(ⅳ)当 x∈...
