第 2 课时 平面向量数量积的应用 考点一 平面向量在平面几何中的应用【例 1】 在△ABC 中，AB·AC＝0，|AB|＝4，|BC|＝5，D 为线段 BC 的中点，E 为线段 BC 垂直平分线 l 上任一异于 D 的点，则AE·CB＝( )A. B.C．－ D．7【解析】 解法 1：AE·CB＝(BE－BA)·CB＝BE·CB－BA·CB＝(DE－DB)·CB－BA·CB＝DE·CB－DB·CB－BA·CB＝－×5×1＋4×5×＝－＋16＝.故选 A.解法 2：依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(4,0)，因为|BC|＝5，所以 C(0,3)，D，易知直线 BC 的斜率为－，因为直线 DE 是线段 BC 的垂直平分线，所以直线 DE 的斜率为，所以直线 DE 的方程为 y－＝(x－2)，令 x＝0 得 y＝－，所以直线 DE 与 y 轴的交点坐标为，不妨令 E，因为CB＝(4，－3)，所以AE·CB＝·(4，－3)＝，故选 A.【答案】 A方法技巧向量与平面几何综合问题的解法1坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示.2基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解. 已知 O，N，P 在△ABC 所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，且PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点 O，N，P 依次是△ABC 的( C )A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心解析：由|OA|＝|OB|＝|OC|知，O 为△ABC 的外心；由NA＋NB＋NC＝0 知，N 为△ABC 的重心；因为 PA·PB＝PB·PC，所以(PA－PC)·PB＝0，所以CA·PB＝0，所以CA⊥PB，即 CA⊥PB，同理 AP⊥BC，CP⊥AB，所以 P 为△ABC 的垂心．考点二 平面向量与三角函数的综合【例 2】 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足(a－c)BA·BC＝cCB·CA.(1)求角 B 的大小；(2)若|BA－BC|＝，求△ABC 面积的最大值．【解】 (1)由题意得(a－c)cosB＝bcosC.根据正弦定理得(sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，所以 sinAcosB＝sin(C＋B)，即 sinAcosB＝sinA，因为 A∈(0，π)，所以 sinA>0，所以 cosB＝，又 B∈(0，π)，所以 B＝.(2)因为|BA－BC|＝，所以|CA|＝，即 b＝，根据余弦定理及基本不等式得 6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当 a＝c 时取等号)，即 ac≤3(2＋)．故△ABC 的面积 S＝acsinB≤，因此△ABC 的面积的最大值为.方法技巧向量与三角函数综合应用1解决平面向量与三角函数...
