第 4 讲 函数、导数与不等式 [做真题](2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝aex－ln x－1.(1)设 x＝2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a≥时， f(x)≥0.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.由题设知，f′(2)＝0，所以 a＝.从而 f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.当 02 时，f′(x)>0.所以 f(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．即 f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)证明：当 a≥时，f(x)≥－ln x－1.设 g(x)＝－ln x－1，则 g′(x)＝－.当 01 时，g′(x)>0.所以 x＝1 是 g(x)的最小值点．故当 x>0 时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当 a≥时，f(x)≥0.[明考情]在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数为载体考查比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题． 导数方法证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时 ，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方 法 有 ： (1) 直 接 构 造 法 ： 证 明 不 等 式 f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数 h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩 ，二是利用常见的放缩结论 ，即 ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x0)，≤ln(x＋1)≤x(x>－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导，难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造 f(x)和 g(x) ，利用其最值求解．案例关键步【直接构造法】(2016·高考全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝ln x－x＋1.(1)(2)略(3)证明：由题设 c＞1，设 g(x)＝1＋(c－1)x－cx，[关键 1：利用要证明的不等式直接构造函数](1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当 x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；(3)设 c＞1，证明：当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.则 g′(x)＝c－1－cxln c，令 g′(x)＝0，解得 x0＝.当 x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当 x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递...
