第 5 讲 函数、导数与方程 [做真题](2019·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数 f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为 f(x)的导数．证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点．证明：设 g(x)＝f′(x)，则 g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x.当 x∈时，g′(x)>0；当 x∈时，g′(x)<0，所以 g(x)在上单调递增，在上单调递减．又 g(0)＝0，g()>0，g(π)＝－2，故 g(x)在(0，π)存在唯一零点．所以 f′(x)在(0，π)存在唯一零点．[明考情]函数、导数与方程的根(零点)考查的形式以解答题为主，主要考查利用导数确定某些高次式、指数式、对数式及绝对值式结构的函数的零点或方程根的个数，或者依据它们的零点或方程根的存在情况求参数的值(或取值范围)等问题，以解答题为主． 判断、证明或讨论函数零点个数两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件——函数图象在区间 [a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0.① 直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，取值证明 f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明 f(a)·f(b)<0.案例关键步【直接法】(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若 a＝3，求 f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点.(1)略(2)证明：由于 x2＋x＋1>0，所以 f(x)＝0 等价于－3a＝0.设 g(x)＝－3a，[关键 1：变形后构造函数．此处结合分析法，考虑下一步判断则 g′(x)＝≥0，仅当 x＝0 时 g′(x)＝0，所以 g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点．又 f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0，f(3a＋1)＝>0，故 f(x)有一个零点．[关键 3：利用零点存在性定理判断零点个数]综上，f(x)只有一个零点. [典型例题] (2019·广东省七校联考)已知函数 f(x)＝ln x＋ax.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 a<0 时，求函数 f(x)的零点个数．【解】 (1)由题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋a＝.① 当 a≥0 时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；② 当 a<0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝－，故在上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在上，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，当 a≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当 a<0 时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)可知，当 a<0 时，f(x)在上单调递增，在上单...
