（新课标）高考数学一轮总复习 第四章 三角函数 第21讲 简单三角恒等变换导学案 新人教A版-新人教A版高三全册数学学案

第 21 讲 简单三角恒等变换【课程要求】1．能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换．2．能利用上述公式及三角恒等变换的基本思想方法对三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明．对应学生用书 p57【基础检测】1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对任意的角 α，都有 cos2＝成立．( )(2)y＝sin4x－cos4x 的周期为.( )(3)y＝sinx＋cosx 在 x＝取最大值是 2.( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．[必修 4p143B 组 T2]已知 sin74°＝a，则 cos8°＝__________．(用含 a 的式子表示)[解析]由题知 cos16°＝sin74°＝a，又 cos16°＝2cos28°－1＝a，所以 cos28°＝，cos8°＝＝.[答案]3．[必修 4p141例 4]如图，现要在一块半径为 1，圆心角为的扇形铁片 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上，设∠BOP＝θ，平行四边形 MNPQ 的面积为 S.(1)求 S 关于 θ 的函数关系式；(2)求 S 的最大值及相应的 θ 的大小．[解析] (1)分别过 P，Q 作 PD⊥OB 于点 D，QE⊥OB 于点 E，则四边形 QEDP 为矩形．由扇形半径为 1，得|PD|＝sinθ，|OD|＝cosθ.又|OE|＝|QE|＝|PD|，∴|MN|＝|QP|＝|DE|＝|OD|－|OE|＝cosθ－sinθ，∴S＝|MN|·|PD|＝·sinθ＝sinθcosθ－sin2θ，θ∈.(2)由(1)知 S＝sin2θ－(1－cos2θ)＝sin2θ＋cos2θ－＝sin－，因为 θ∈，所以 2θ＋∈，所以 sin∈.当 θ＝时，S 取最大值，且 Smax＝.4．化简 tan70°cos10°(tan20°－1)的值为( ) A．1B．2C．－1D．－2[解析]原式＝·cos10°＝·＝×2sin(20°－30°)＝－＝－1.[答案]C5．若 sin2α＝，sin(β－α)＝，且 α∈，β∈，则 α＋β 的值是( ) A.B.C.或 D.或[解析] α∈，∴2α∈， sin2α＝，∴2α∈.∴α∈且 cos2α＝－，又 sin(β－α)＝，β∈，∴β－α∈，cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝×－×＝，又 α＋β∈，所以 α＋β＝.[答案]A【知识要点】1．三角变换的一般方法(1)角的变换，一般包括角的分解和角的组合，如 α＝(α＋β)－β，＋x＝－，α＝2·等；(2)函数名称的变换，一般包括将三角函数统一成弦，以减少函数种类，对齐次式也可化成切；(3)注意结构的变换，如升幂与降幂，辅助角公式等；(4)角变换中以角的变...