第 31 讲 平面向量的综合应用考试要求 1.用向量方法解决某些简单的平面几何问题(A 级要求)；2.用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题(A 级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若AB∥AC，则 A，B，C 三点共线.( )(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.( )(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算.( )(4)在△ABC 中，若AB·BC＜0，则△ABC 为钝角三角形.( )解析 (4)中，AB与BC的夹角为 π－B，是钝角，只能说明 B 为锐角.答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2.(教材改编)已知力 F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从 A(2，0)移动到 B(－2，3)，则F 对物体所做的功为________.解析 由已知位移 s＝AB＝(－4，3)，∴力 F 做的功为 W＝F·s＝2×(－4)＋3×3＝1.答案 13.已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形的形状是________.解析 AB＝(2，－2)，CB＝(6，6)，∴AB·CB＝12－12＝0，∴AB⊥CB，∴△ABC 为直角三角形.答案 直角三角形4.在四边形 ABCD 中，AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则该四边形的面积为________.解析 AC·BD＝(1，2)·(－4，2)＝0，则AC⊥BD，故四边形 ABCD 的对角线互相垂直，面积 S＝|AC||BD|＝××2＝5.答案 55.(2018·苏州调研)在梯形 ABCD 中，AB＝2DC，|BC|＝6，P 为梯形 ABCD 所在平面上一点，且满足AP＋BP＋4DP＝0，DA·CB＝|DA||DP|，Q 为边 AD 上的一个动点，则|PQ|的最小值为________.解析 设 AB 中点为 E，则四边形 BCDE 为平行四边形，且 AP＋BP＝2EP，所以PE＝2DP，D，E，P 三点共线，|DE|＝6，|DP|＝2.又DA·CB＝DA·DE＝3DA·DP＝3|DA||DP|cos∠ADE＝|DA||DP|，所以 cos∠ADE＝，sin∠ADE＝.要使|PQ|最小，即 PQ⊥AD.此时|PQ|＝|DP|sin∠ADE＝.答案 知 识 梳 理1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题向量共线定理a∥b⇔a ＝ λ b ⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 ，其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a · b ＝ 0 ⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 ，其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且 a，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝(θ 为向量 a，b 的夹角)，其中a，b 为非零向量长度问题数...
