第三节 函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴 对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝ － f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于原点对称2．函数的周期性(1)周期函数对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[小题体验]1．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f(x)＝x2＋，则 f(－1)＝________.答案：－22．若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)＝1，f(2)＝2，则 f(8)－f(14)＝________.答案：－13．若函数 f(x)＝(a－1)x2＋(a＋1)x＋a2－1 是奇函数，则实数 a 的值是________．解析：由于函数 f(x)的定义域为 R，又函数 f(x)是奇函数，故 f(0)＝0，解得 a＝1 或a＝－1(舍去)，经检验 a＝1 时符合题意．答案：11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有 f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在 x0使 f(－x0)＝－f(x0)或 f(－x0)＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b＝________.解析：因为 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以 a－1＋2a＝0，所以a＝.又 f(－x)＝f(x)，所以 b＝0，所以 a＋b＝.答案：2．函数 f(x)＝的奇偶性为________．解析：因为 x≠0，故 f(x)的定义域关于原点对称．当 x＞0 时，－x＜0，所以 f(－x)＝log2x＝f(x)．当 x＜0 时，－x＞0，所以 f(－x)＝log2(－x)＝f(x)．故 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)为偶函数．答案：偶函数 [题组练透]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝；(5)(易错题)f(x)＝解：(1)因为由得 x＝±1，所以 f(x)的定义...
