高考热点追踪(五)圆锥曲线交汇大观交融性试题是高考数学试题中“抢眼”的一种题型，它多姿多彩的格调、清新优美的风采，构成了高考试题中一道亮丽的风景． 圆锥曲线是中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系多项内容的媒介，下面例析圆锥曲线与其他知识的交汇．一、圆锥曲线与导数交汇 (2019·扬州期末)已知抛物线 C1：y＝x2＋2x 和 C2：y＝－x2＋a，如果直线 l 同时是 C1和 C2的切线，称 l 是 C1和 C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．(1)a 取什么值时，C1和 C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若 C1和 C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．【解】 (1)函数 y＝x2＋2x 的导数 y′＝2x＋2，曲线 C1在点 P(x1，x＋2x1)的切线方程是：y－(x＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即 y＝(2x1＋2)x－x，①函数 y＝－x2＋a 的导数 y′＝－2x, 曲线 C2在点 Q(x2，－x＋a)的切线方程是 y－(－x＋a)＝－2x2(x－x2)，即 y＝－2x2x＋x＋a，②如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线，则①式和②式都是 l 的方程，所以，消去 x2得方程 2x＋2x1＋1＋a＝0，若判别式 Δ＝4－4×2(1＋a)＝0 时，即 a＝－时解得 x1＝－，此时点 P 与 Q 重合．即当 a＝－时 C1和 C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y＝x－．(2)证明：由(1)可知．当 a<－时 C1和 C2有两条公切线，设一条公切线上切点为：P(x1，y1)，Q(x2，y2)．其中 P 在 C1上，Q 在 C2上，则有 x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x＋2x1＋(－x＋a)＝x＋2x1－(－x1－1)2＋a＝－1＋a，线段 PQ 的中点为．同理，另一条公切线段 P′Q′的中点也是．所以公切线段 PQ 和 P′Q′互相平分．[名师点评] 解析几何与导数交汇的试题别致新颖，是高考的冷点．求解时要充分利用导数、解析几何的概念、性质 ， 最好结合图形来求解 ．二、圆锥曲线与数列交汇 (2019·江苏省高考名校联考(四))在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝，一条准线方程为 x＝．(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，D 为椭圆 C 上的动点，求DF1·DF2的取值范围；(3)若不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且满足直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，求直线 l 的斜率．【解】 (1)由题意得，解得，又 a2＝b2＋c2，所以 b2＝1，故椭圆 C 的方程为＋y2＝1．(...
