第十一节导数与函数的单调性————————————————————————————————[考纲传真]了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,则(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数.1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(“√”“正确的打,错误的打×”)(1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么在区间(a,b)上一定有f′(x)>0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0,则函数f(x)在此区间上没有单调性.()(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.()[答案](1)×(2)√(3)×2.f(x)=x3-6x2的单调递减区间为()A.(0,4)B.(0,2)C.(4∞,+)D.(∞-,0)A[f′(x)=3x2-12x=3x(x-4),由f′(x)<0,得01时,g(x)>0.[解](1)由题意得f′(x)=2ax-=(x>0).2分当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0∞,+)内单调递减.当a>0时,由f′(x)=0有x=,当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;5分当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.7分(2)证明:令s(x)=ex-1-x,则s′(x)=ex-1-1.9分当x>1时,s′(x)>0,所以ex-1>x,从而g(x)=->0.12分求函数的单调区间(2016·天津高考节选)设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.求f(x)的单调区间.[解]由f(x)=x3-ax-b,可得f′(x)=3x2-a.下面分两种情况讨论:①当a≤0时,有f′(x)=3x2-a≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(∞∞-,+).5分②当a>0时,令f′(x)=0,解得x=或x=-.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x-f′(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,.12分[规律方法]求函数单调区间的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f′(x);(3)在定义域内解不等式f′(x)>0,得单调递增区间;(4)在定义域内解不等式f′(x)...