第三章 线性方程组§1 消元法一、线性方程组得初等变换现在讨论一般线性方程组、所谓一般线性方程组就是指形式为 (1)得方程组,其中代表个未知量,就是方程得个数,称为线性方程组得系数,称为常数项、方程组中未知量得个数与方程得个数不一定相等、系数得第一个指标表示它在第个方程,第二个指标表示它就是得系数、所谓方程组(1)得一个解就就是指由个数组成得有序数组,当分别用代入后,(1)中每个等式都变成恒等式、 方程组(1)得解得全体称为它得解集合、解方程组实际上就就是找出它全部得解,或者说,求出它得解集合、假如两个方程组有相同得解集合,它们就称为同解得、显然,假如知道了一个线性方程组得全部系数与常数项,那么这个线性方程组就基本上确定了、确切地说,线性方程组(1)可以用下面得矩阵 (2)来表示、实际上,有了(2)之后,除去代表未知量得文字外线性方程组(1)就确定了,而采纳什么文字来代表未知量当然不就是实质性得、在中学所学代数里学过用加减消元法与代入消元法解二元、三元线性方程组、实际上,这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性、下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组、例如,解方程组第二个方程组减去第一个方程得 2 倍,第三个方程减去第一个方程,就变成第二个方程减去第三个方程得 2 倍,把第二第三两个方程得次序互换,即得这样,就容易求出方程组得解为(9,1,6)、分析一下消元法,不难瞧出,它实际上就是反复地对方程组进行变换,而所用得变换也只就是由以下三种基本得变换所构成:1、 用一非零数乘某一方程;2、 把一个方程得倍数加到另一个方程;3、 互换两个方程得位置、定义 1 变换 1,2,3 称为线性方程组得初等变换、二、线性方程组得解得情形消元得过程就就是反复施行初等变换得过程、下面证明,初等变换总就是把方程组变成同解得方程组、下面我们来说明,如何利用初等变换来解一般得线性方程组、对于方程组(1),首先检查得系数、假如得系数全为零,那么方程组(1)对没有任何限制,就可以取任何值,而方程组(1)可以瞧作得方程组来解、假如得系数不全为零,那么利用初等变换 3,可以设、利用初等变换 2,分别把第一个方程得倍加到第个方程、于就是方程组(1)就变成 (3)其中这样,解方程组(1)得问题就归结为解方程组 (4)得问题、显然(4)得一个解,代入(3)得第一个方程就定出得值,这就得出(3)得一个解;(3)得解显然都就是(4)得解、这就就是说,方程组(3)有解得充要条件为方程组(4)有解,而(3)与(1)就是同解得,因之,方程组(1...
