第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式————————————————————————————————[考纲传真]1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tan_α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)“”诱导公式的记忆口诀中奇变偶不变，符号看象限，其中的奇、偶是指的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα等于()A．－B．－C.D.B[ sinα＝，α是第二象限角，∴cosα＝－＝－.]3．(2017·陕西质检(二))若tanα＝，则sin4α－cos4α的值为()A．－B．－C.D.B[sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝＝＝－，故选B.]4．(2016·四川高考)sin750°＝________.[sin750°＝sin(750°－360°×2)＝sin30°＝.]5．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝________.【导学号：31222107】－[因为sin＝cosα＝，α∈，所以sinα＝＝，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－.]同角三角函数基本关系式的应用(1)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为()A．－B.C．－D.(2)(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝()A.B.C．1D.(1)B(2)A[(1) ＜α＜，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.(2) tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝＝，故选A.][规律方法]1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.[变式训练1]已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα等于()A．－1B．－C.D．1A[由消去sinα得：2cos2α＋2cosα＋1＝0，即(cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－.又α∈(0，π)，∴α＝，∴tanα＝tan＝－1.]诱导公式的应用(1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}(2)已知tan＝，则tan＝________.(1)C(2)－[(1)当k为偶数时，A＝＋＝2；k为奇数时，A＝－＝－2.(2)tan＝tan＝tan＝－tan＝－.][规律方法]1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．[变式训练2]已知cos＝，则cos－sin2的值为________.【导学号：31222108】－[ cos＝cos＝－cos＝－，sin2＝sin2＝sin2＝1－cos2＝1－2＝，∴cos－sin2＝－－＝－.]同角关系式与诱导公式的综合应用(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.(2)(2017·郑州质检)已知cos＝2sin，则的值为________．(1)－(2)[(1)由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝.tan＝tan＝－＝－＝－＝－.(2) cos＝2sin，∴－sinα＝－2cosα，则sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝.＝＝＝cos2α－＝.][规律方法]利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式...
