高考中档大题规范练(四)数列1．已知函数f(x)＝，数列{an}满足：2an＋1－2an＋an＋1an＝0且an≠0.数列{bn}中，b1＝f(0)且bn＝f(an－1)．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列{|bn|}的前n项和Tn.2．已知等差数列{an}是递增数列，且满足a4·a7＝15，a3＋a8＝8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n≥2)，b1＝，求数列{bn}的前n项和Sn.3．(2015·天津)已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．(1)求q的值和{an}的通项公式；(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3nbn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3.(1)求an，bn；(2)设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn，并求满足Tn<7时n的最大值．5．(2015·广东)数列{an}满足：a1＋2a2＋…＋nan＝4－，n∈N*.(1)求a3的值；(2)求数列{an}前n项和Tn；(3)令b1＝a1，bn＝＋an(n≥2)，证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2＋2lnn.答案精析高考中档大题规范练(四)数列1．(1)证明由2an＋1－2an＋an＋1an＝0得－＝，所以数列是等差数列．(2)解因为b1＝f(0)＝5，所以＝5，7a1－2＝5a1，所以a1＝1，＝1＋(n－1)×，所以an＝.bn＝＝7－(n＋1)＝6－n.当n≤6时，Tn＝(5＋6－n)＝；当n≥7时，Tn＝15＋(1＋n－6)＝.所以，Tn＝2．解(1)根据题意a3＋a8＝8＝a4＋a7，a4·a7＝15，所以a4，a7是方程x2－8x＋15＝0的两根，且a4
7，∴Tn<7时，n的最大值为3.5．(1)解a1＝1，a1＋2a2＝2，a2＝，a1＋2a2＋3a3＝4－，a3＝.(2)解n≥2时，a1＋2a2＋…＋(n－1)·an－1＝4－，与原式相减，得nan＝，an＝，n＝1也符合，Tn＝＝2－.(3)证明n≥2时，bn＝＋an＝＋an，故Sn＝i＝a1＋＋a2＋＋a3＋…＋＋an＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝Tn＝<2，只需证明2<2＋2lnn，n∈N*.对于任意自然数k∈N，令x＝－∈(－1,0)时，ln＋<0，即
