第3节二项式定理【选题明细表】知识点、方法题号二项展开式的通项公式1,4,5,6,7,8,11,13,14二项式系数的性质、系数和2,3,9,10,12二项式定理的简单应用15基础对点练(时间:30分钟)1.二项式(x-)6的展开式中常数项为(B)(A)-15(B)15(C)-20(D)20解析:展开式的通项公式为Tr+1=xr=(-1)6-r,令r-3=0,得r=2,故展开式中的常数项为T3=(-1)6-2=15,选B.2.(2015·陕西卷)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n等于(C)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:因为(x+1)n的展开式中x2的系数为,所以=15,即=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).故选C.3.若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1+a2+a3+a4等于(A)(A)0(B)-1(C)1(D)81解析:令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1,令x=0,可得a0=1,所以a1+a2+a3+a4=0.4.(2016·安徽蚌埠二模)二项式(-)n展开式中含有x项,则n可能的取值是(D)(A)10(B)9(C)8(D)7解析:因为二项式(-)n展开式的通项公式为Tr+1=·()n-r·(-)r=(-1)r··,令-2n+=1,得5r=4n+2,即r=,即4n+2是5的倍数,所以满足条件的数在答案中只有7.故选D.5.在(+)2n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大,则其常数项为(B)(A)120(B)210(C)252(D)45解析:由已知得,二项展开式中各项的系数和二项式系数相等.由展开式中只有第6项的系数最大,可得展开式有11项,即2n=10,n=5.(+)10展开式的通项为Tr+1==,令5-r=0,可得r=6,此时T7==210.6.(2015·湖南卷)已知(-)5的展开式中含的项的系数为30,则a等于(D)(A)(B)-(C)6(D)-6解析:(-)5的展开式的通项为Tr+1=()5-r·(-)r=(-a)r·.依题意,令5-2r=3,得r=1,所以(-a)1·=30,a=-6,故选D.7.(2016·河北保定一模)若二项式的展开式中的常数项为-540,则(3x2-1)dx等于(A)(A)24(B)3(C)6(D)2解析:二项式展开式的通项公式为Tr+1=(ax)6-r(-)r,易知当r=3时为常数项,所以(-1)3a3=-540,解得a=3.(3x2-1)dx=(3x2-1)dx=(x3-x)=24.8.在(1-x)20的展开式中,系数为有理数的项共有项.解析:展开式的通项公式为Tr+1=(-x)r,系数为有理数只要r为偶数即可,即r=0,2,…,20,共11项.答案:119.(2016·湖南常德市高三3月模拟)已知(1-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则|a0|+|a1|+…+|a6|=.解析:令x=-1即得,即26=64.答案:6410.(2016·湖南衡阳市高三二联)二项式的展开式中,x4y4与x2y6项的系数之和是(用数字作答).解析:(-y)8的展开式的通项为Tr+1=()8-r(-y)r=x8-ryr,当r=4时,可得x4y4的系数为=;当r=6时,可得x2y6的系数为=14,所以x4y4与x2y6的系数之和是+14=.答案:能力提升练(时间:15分钟)11.导学号18702646甲、乙、丙、丁四人站一排照相,其中甲、乙不相邻的站法共有n种,则(-)n展开式的常数项为(A)(A)-(B)(C)-55(D)55解析:先排丙、丁,再在其隔开的三个空位上排甲、乙,所以n==12.已知二项式展开式的通项为Tr+1=()12-r(-)r=(-)r,当r=3时为常数项,故其常数项为(-)3=-.12.导学号18702647已知(3x-1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),设(3x-1)n展开式的二项式系数和为Sn,Tn=a1+a2+a3+…+an(n∈N*),Sn与Tn的大小关系是(C)(A)Sn>Tn(B)SnTn(D)Sn=Tn解析:令x=1,得a0+a1+…+an=2n,令x=0,得a0=(-1)n,所以Tn=2n-(-1)n;Sn=2n.当n为奇数时,SnTn.13.导学号18702648若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中x4项的系数为(B)(A)6(B)7(C)8(D)9解析:由2×=+,得n=1+,即n2-9n+8=0,解得n=8.展开式的通项公式为Tr+1=x8-2r,8-2r=4,则r=2,x4的系数为7.14.(2016·福建福州模拟)(a+b)2(b+c)3的展开式中ab2c2的系数是.解析:第一个展开式中ab的系数与第二个展开式中bc2的系数的乘积.答案:615.导学号18702568求(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)20展开式中x3的系数.解:法一先求各展开式中x3的系数后求和.所求x3的系数为+++…+=(+)++…+=(+)++…+=(+)+…+=+==5985.法二先求和再求x3的系数.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)20可以看作是首项为(1+x)3,公比为1+x(显然x≠-1,0)的等比数列前18项的和,利用等比数列求和公式.所以原式==.显然只有(1+x)21中x4项与分母x相除可得x3项,所以x3的系数为=5985.好题天天练1.导学号18702569(x2-x-2)6的展开式中x2的系数等于(B)(A)-48(B)48(C)234(D)432解题关键:分解x2-x-2,把三项式问题化为二项式问题,使用多项式乘法法则解决.解析:(x2-x-2)6=(2-x)6(1+x)6=(26-25x+24x2-…)(+x+x2+…),所以展开式中x2的系数为26-25+24=48.选B.2.导学号18702570设(1-x)5(3+2x)9=a0(x+1)14+a1(x+1)13+…+a13(x+1)+a14,则a0+a1+a2+…+a13等于(D)(A)39(B)25-39(C)25(D)39-25解题关键:特殊赋值得出a14以及a0+a1+…+a14.解析:令x=0,得a0+a1+…+a14=39,令x=-1,得a14=25,所以a0+a1+a2+…+a13=39-25.
