【创新设计】（全国通用）2017版高考数学一轮复习第十二章概率、随机变量及其分布第3讲几何概型练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.在区间上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为()A.B.C.D.解析若cosx∈，x∈，利用三角函数性质解得x∈∪，在上随机取一个数是等可能的，结合几何概型的概率公式可得所求概率为P＝＝.答案A2.(2016·东北三省三校联考)实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2－mx＋4＝0有实根的概率为()A.B.C.D.解析方程x2－mx＋4＝0有实根，则Δ＝m2－4×4≥0，∴m≥4或m≤－4，又m∈[0，6]，∴4≤m≤6，∴关于x的方程x2－mx＋4＝0有实根的概率为＝.故选B.答案B3.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为()A.B.C.D.解析设AC＝xcm，0＜x＜12，则CB＝(12－x)cm，要使矩形面积大于20cm2，只要x(12－x)＞20，则x2－12x＋20＜0，解得2＜x＜10，所求概率为P＝＝.答案C4.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C.D.解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.答案B5.(2016·武汉部分学校质检)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为()A.B.C.D.解析 大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P＝＝.故选B.答案B二、填空题6.如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.解析设阴影部分的面积为S，由题意知＝，解得S＝0.18.答案0.187.在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.解析由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去.当2＜m＜4时，由题意得＝，解得m＝3.即m的值为3.答案38.在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________.解析 方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴所求的概率为P＝.答案9.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.解析 y＝ex与y＝lnx互为反函数，故直线y＝x两侧的阴影部分面积相等，只需计算其中一部分即可.如图，S1＝exdx＝ex0＝e1－e0＝e－1.∴S总阴影＝2S阴影＝2(e×1－S1)＝2[e－(e－1)]＝2，故所求概率为P＝.答案三、解答题10.设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求方程有实根的概率.解设事件A“为方程x2＋2ax＋b2＝0”有实根.当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝＝.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·辽宁五校联考)设k是一个正整数，已知的展开式中第四项的系数为，函数y＝x2与y＝kx的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点(x，y)恰好落在阴影部分内的概率为()A.B.C.D.解析由题意得C＝，解得k＝4.阴影部分的面积S1＝(4x－x2)dx＝0＝， 任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，∴以x、y为横、纵坐标的所有可能的点构成的区域面积S2＝4×16＝64，所以所求概率P＝＝，故选C.答案C12.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.－B.C.1－D.解析如图，设OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝×1×1＝，S扇形OCD＝，∴在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝－2＝1，所有阴影面积为π－2...
