变分原理与变分法

变分原理与变分法(10 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples:① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron）；③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat）；Summary: 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论 AECBv1v2 数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J:}Examples:① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域 ‖A‖1 = ；；② 函数的积分： 函数空间 数域 Note: 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。Discussion：① 判定下列那些是泛函：； ； 3x+5y=2； ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ii. 弹性地基贮存的能量： q(x)E 、Jconstsxx = 0, 固支；x = l, 自由iii. 外力位能： iv. 系统总的势能： 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w(x),使系统势能泛函取最小值。② 最速降线问题 问题：已知空间两点 A 和 B,A 高于 B，要求在两点间连接一条曲线，使得有重物从 A 沿此曲线自由下滑时，从 A 到 B 所需时间最短（忽略摩擦力）。作法：i. 通过 A 和 B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a, b),设曲线为 y = y(x),并已知：x = 0,y = 0；x = a,y = b ii. 建立泛函： 设 P(x , y)是曲线上的点，P 点的速度由能量守恒定律求得： 命 ds 为曲线弧长的微分，有： 重物从 A 点滑到 B 点的总时间： BAyypxT= 泛函驻值提法：在 0≤x≤a ...