§12.3二项分布与正态分布考点一条件概率、相互独立事件及二项分布7.(2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.解析(1)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,∵利润=产量×市场价格-成本,∴X所有可能的取值为500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,300×10-1000=2000,300×6-1000=800.P(X=4000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=2000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×0.82×0.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512+0.384=0.896.评析本题考查了离散型随机变量的分布列,相互独立事件,二项分布等知识;考查应用意识,分类讨论的意识、运算求解的能力.8.(2012山东,19,12分)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.解析(1)记:“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D,由题意知P(B)=,P(C)=P(D)=,由于A=B+C+D,根据事件的独立性和互斥性得P(A)=P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D)=××+1-××1-+1-×1-×=.(2)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,根据事件的独立性和互斥性得P(X=0)=P()=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)]=××=,P(X=1)=P(B)=P(B)P()P()=××=,P(X=2)=P(C+D)=P(C)+P(D)=××+××=,P(X=3)=P(BC+BD)=P(BC)+P(BD)=××+××=,P(X=4)=P(CD)=××=,P(X=5)=P(BCD)=××=.故X的分布列为X012345P所以EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.评析本题考查互斥、对立及相互独立事件的概率,考查分布列及期望,考查学生分析问题、解决问题的能力.解答本题的关键是准确分析X的取值情况及其相对应的概率.
