异面直线的判定练习题及答案(2 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。异面直线的判定1.已知空间四边形 ABCD，E、H 分别是 AB、AD 的中点，F、G 分别是边 BC、DC的三等分点（如图），求证：（1）对角线 AC、BD 是异面直线；（2）直线 EF 和 HG 必交于一点，且交点在 AC 上．2.A 是△BCD 平面外的一点，E、F 分别是 BC、AD 的中点，（1）求证：直线 EF 与 BD 是异面直线； 3.已知：平面 α∩平面 β=a，bα⊂ ，b∩a=A，cβ⊂且 c∥a，求证：b、c 是异面直线．4.已知不共面的三条直线 a、b、c 相交于点 P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD 与 BC 是异面直线．5.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与 BC1所在的直线是异面直线． 小结：常用方法是反证法（1）利用反证法证明对角线 AC、BD 是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直（2）说明直线 EF 和 HG 必交于一点，然后证明这点在平面 ADC 内．又在平面 ABC 内，必在它们的交线 AC 上．：（1）假设对角线 AC、BD 在同一平面 α 内，则 A、B、C、D 都在平面 α 内，这与 ABCD 是空间四边形矛盾，∴AC、BD 是异面直线．（2） E、H 分别是 AB、AD 的中点 所以 EH 平行且等于 1/2BD, 又 F、G 分别是 BC、DC 的三等分点，EG 平行等于 2/3BD，．∴EH∥FG，且 EH＜FG．∴FE 与 GH 相交设交点为 O，又 O 在 GH 上，GH 在平面 ADC 内，∴O 在平面 ADC 内．同理，O 在平面 ABC 内．从而 O 在平面 ADC 与平面 ABC 的交线 AC 上．2.（1）假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，得到 A、B、C、D 在同一平面内，矛盾．（1）证明：用反证法．设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A、B、C、D 在同一平面内，这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线 EF 与 BD 是异面直线．3.证明 b、c 是异面直线，比较困难，考虑使用反证法，即若 b 与 c 不是异面直线，则 b∥c 或 b 与 c 相交，证明 b∥c 或 b 与 c 相交都是不可能的，从而证明 b、c 是异面直线 证明：用反证法：若 b 与 c 不是异面直线，则 b∥c 或 b 与 c 相交（1）若 b∥c． a∥c，∴a∥b 这与 a∩b=A 矛盾；（2）若 b，c 相交于 B，则 B∈β，又 a∩b=...
