排列组合与二项式定理综合提升讲义考点整合一．两个原理.1.乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。二．排列：元素是有顺序的排列数公式或；，规定。性质公式：三．组合：元素没有顺序之分组合数公式：两个性质：①②四．排列、组合（7 大方法+2 大原则）1.直接法（分类相加，分步相乘）2.间接法（互斥事件）3.捆绑法4.插空法5.隔板法6.分类讨论法 7.单排法1.先选后排原则 2.特别优先原则五．二项式定理；公式右边的多项式叫做的二项展开式；展开式中各项的系数叫做二项式系数；二项展开式的通项：。的展开式：；若令，则有：，此为二项式系数之和！二 项 展 开 式 中 各 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 之 和 等 于 各 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 之 和 ，即对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当 n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.典例解析：排列组合计算和证明一．计算下列各题：1.； 2.；3. ； 4.5.．6.求()的个位数字．7.；8.设求的值解：1.；2.原式；3.原式；4. ，∴．5.由∴原式．；6.当时，的个位数为 0，∴()的个位数字与的个位数字相同．而，∴的个位数字为 3．7.原式；8.解：由题意可得：，解得， ，∴或或，当时原式值为 7；当时原式值为 7；当时原式值为 11．∴所求值为 4 或 7 或 11．二．解方程：（1）；（2）；（3）3．解不等式：．解：（1）由原方程得或，∴或，又由得且，∴原方程的解为或上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为，即，∴，∴，∴，解得或，经检验：是原方程的解（3）由排列数公式得：， ，∴，即，解得或， ，且，∴原方程的解为．（4）原不等式即，也就是，化简得：，解得或，又 ，且，所以，原不等式的解集为．三．化简：⑴；⑵⑴ 解：原式⑵ 提示：由，得，原式说明：．四．求证：1.；2.．3.．4.＝++．5.…（其中）。6.…。7.…。证明：1.，∴原式成立2.右边∴原式成立3.. ，＝＝∴4..右边左边5.设某班有个男同学、个女同学，从中选出个同学组成兴趣小组，可分为类：男同学 0 个，1 个，…，个，则女同学分别为个，个，…，0 个，共有选法数为…。又由组合定义知选法数为，故等式成立。6...
