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一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）当时，下面4个无穷小量中阶数最高的是（）(A)(B)(C)(D)【答案】（D）【解析】（A）项：当时，（B）项：显然当时，（C）项：当时，（D）项：所以，，即时存在，所以（2）下列命题中正确的是（）(A)若函数在上可积，则必有原函数(B)若函数在上连续，则必存在(C)若函数在上可积，则在上必连续(D)若函数在上不连续，则在该区间上必无原函数1/1812345678DCBDDACB【答案】C【解析】选项（A）错误，反例：，在可积，但它无原函数。选项（B）错误，反例：在上连续，但不存在。选项（D）错误，反例：在处不连续，但其原函数可取。所以，正确选项为（C）。（3）以下关于二元函数的连续性的说法正确的是()(A)沿任意直线在某点处连续,则在点连续(B)在点处连续,则在点连续,在点连续(C)在点处偏导数及存在,则在点处连续(D)以上说法都不对【答案】B【解析】由二元函数在点极限存在及在该点连续的定义知B正确.（4）设区域，为上的正值连续函数，为常数，则＝(2/18)(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】,关于对称两式相加得（5）设矩阵经过若干次初等行变换后得到，现有4个结论正确的是：（）①的行向量均可由的行向量线性表示②的列向量均可由的列向量线性表示③的行向量均可由的行向量线性表示④的列向量均可由的列向量线性表示(A)①、②(B)③、④(C)②、③(D)①、③【答案】(D)【解析】由题设经初等行变换得到知，有初等矩阵使得记则是可逆矩阵，将均按行向量分块有3/18这表明，故的行向量均可由的行向量线性表出，因是可逆矩阵，所以两边同乘得故故的行向量均可由的行向量线性表出。所以答案选(D)（6）已知那么下列矩阵中，与合同的矩阵有（）(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个【答案】A【解析】A与B有相同的正、负惯性指数.由知而4/18均为所以他们都与矩阵A合同(7)假设事件和满足，且，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【解析】由已知条件先看（A），推不出等于1所以（A）排除（B）排除（C），故（C）对（D），所以（D）不对。故选（C）（８）已知随机变量均服从，且不相关，则（）(A)服从(B)不一定服从正态分布(C)服从(D)服从【答案】（B）【解析】因为均服从，且不相关，不知道其是否独立，所以(A)（C）（D）不对。5/18二、填空题（本小题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（9）_______________【答案】【解析】=（10）椭圆在点处的曲率半径=_________________【答案】【解析】由知，。故，，故在点处的曲率为所以处的曲率半径为（11）函数在点处沿方向的方向导数6/18【答案】【解析】由于，所以为方向的方向余弦，因此，（12）幂级数在处条件收敛，则其收敛域为_______________【答案】【解析】由在处条件收敛，得条件收敛，即收敛但发散，即收敛但发散，所以在处条件收敛，所以的收敛域为（13）设均为n维列向量，若线性无关，，构成矩阵，则齐次线性方程组的通解为_________________________.【答案】【解析】由题设知,线性无关,线性相关,所以向量组的秩为3.注意到方程中未知量个数为4,故方程的基础解系由1个非零解向量组成.7/18，故是方程的一个非零解,所以也是的一个基础解系,从而的一个通解为,其中是任意常数.。（14）设随机变量相互独立，且，则______【答案】10【解析】因为相互独立，所以相互独立，由于，所以，故，，则，故，所以三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（15）（本题满分10分）设具有二阶连续偏导数，且满足∂2f∂u2+∂2f∂v2=1，又g(x,y)=f[xy,12(x2−y2)]，求∂2g∂x2+∂2g∂y2.【解析】由复合函数的求导法则：（2分）8/18（4分）从而（6分）（8分）所以=x2+y2.（10分）（10分）（16）（本题满分10分）设是区间内过点的光滑曲线,当时,曲线上任一点处的法线都过原点；当时,函数满足.求函数的表达式.【解析】当时,设为曲线上任一点,由导数的几何意义,法线斜率为,9/18由题意,法线斜率为,所以有,（2分）分离变量为,解得,（3分）由初始条件,得,所以①（4分）当时,的通解为,...