4.与解析几何有关的压轴小题1.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.B.C.(6－2)πD.答案A解析设直线l：2x＋y－4＝0.因为|OC|＝|AB|＝d1，其中d1为点C到直线l的距离，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，l为准线的抛物线.圆C半径最小值为d2＝×＝，其中d2为点O到直线l的距离，圆C面积的最小值为π2＝.故选A.2.(2017届云南大理检测)已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于()A.B.－C.2D.－2答案A解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y－＝1，y－＝1，由点差法可得(y1－y2)(y1＋y2)＝，所以直线l的斜率为k1＝＝＝，直线OP的斜率为k2＝，k1k2＝×＝，故选A.3.(2017届枣庄期末)过抛物线y2＝4ax(a＞0)的焦点F作斜率为－1的直线l，l与离心率为e的双曲线－＝1(b＞0)的两条渐近线的交点分别为B，C.若xB，xC，xF分别表示B，C，F的横坐标，且x＝－xB·xC，则e等于()A.6B.C.3D.答案D解析由题意，知F(a，0)，则直线l的方程为y＝－x＋a， 双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴直线l与渐近线的交点横坐标分为，，又x＝－xB·xC，即a2＝－·，整理得＝2，∴e＝＝＝，故选D.4.已知双曲线x2－＝1(b＞0)，以原点O为圆心，双曲线的半实轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为b，则双曲线的离心率为()A.B.2C.3D.2答案B解析以原点为圆心、双曲线的半实轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝1，渐近线的方程为y＝±bx，设A(x，bx)，因为四边形ABCD的面积为b，所以2x·2bx＝b，x＝±，将A代入x2＋y2＝1可得b2＝3，从而可得c＝2，又因为a＝1，所以离心率e＝＝2.5.已知F是抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值为()A.2B.3C.D.答案B解析由题意得F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＝y，x2＝y，yy＋y1y2＝2，y1y2＝－2或y1y2＝1， A，B位于x轴两侧，∴y1y2＝－2，两面积之和为S＝|x1y2－x2y1|＋××|y1|＝×|yy2－yy1|＋××|y1|＝|y2－y1|＋×＝＋×|y1|＝＝＋≥3，当且仅当|y1|＝时“＝”成立.6.已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1·PF2＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析设P(m，n)，则PF1·PF2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2＝c2，∴2c2－m2＝n2.①把P(m，n)代入＋＝1，得＋＝1，②①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，即b2≤2c2，又a2＝b2＋c2，∴a2≤3c2⇒e＝≥.又m2＝≤a2⇒a2≥2c2⇒e＝≤，∴椭圆离心率的取值范围是.7.(2017届河南开封月考)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，|F1F2|＝4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|＝|QN|，则双曲线C的离心率为()A.2B.C.D.答案D解析由于MN∥F1F2，|F1F2|＝4|MN|，则|MN|＝，设N，又F1(－c，0)，且|F1Q|＝|QN|，则Q，点N，Q在双曲线上满足方程，有－＝1，－＝1，消去y得e2＝6，则e＝.8.(2017·日照模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF1F2的内切圆与x轴切于点(2，0).过F2作直线l与双曲线交于A，B两点，若使＝b2的直线l恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1，)B.(1，2)C.(，＋∞)D.(2，＋∞)答案C解析设|F1F2|＝2c(c＞0)，△PF1F2的内切圆分别与PF1，F1F2，PF2切于点G，H，I，则＝，.由双曲线的定义知2a＝，又＝|F1F2|＝2c，所以＝c－a，所以H，即a＝2.注意到这样的事实：若直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则当l⊥x轴时，|AB|有最小值＝b2；若直线l与双曲线的两支各交于一点(A，B两点)，则当l⊥y轴时，|AB|有最小值2a，于是，由题意得b2＞2a＝4，b＞2，c＝＞2，所以双曲线的离心率e＝＞.故选C.9.(2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考)已知抛物线C：y2＝2px(0＜p＜4)的焦点为F，点P为C上一动点，A(4，0)，B(p，p)，且|PA|的最小值为，则...
