圆中的定值问题1．（2025 春 崇川区校级月考）•在平面直角坐标系中，对于平面中的点，和图形，若图形上存在一点，使，则称点为点关于图形的“起落点”，称为点关于图形的“起落三角形”．（1）已知点，，① 在点，，中，原点关于点的“起落点”是 ；② 点在直线上，若点是原点关于线段的“起落点”，求点的横坐标的取值范围；（2）若的圆心为，半径为 3，直线与 ，轴分别交于，两点，点为上一点，若线段上存在点关于的“起落点”，且对应的“起落三角形”是底边长为 2 的等腰三角形，请直接写出 的取值范围．2．（2025•罗湖区一模）问题：如图 1，中，是直径，，点是劣弧上任一点．（不与点、重合）求证：为定值．思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程．证明：在上截取点．使．连接．运用：如图 2，在平面直角坐标系中，与 轴相切于点，与轴相交于、两点，且，连接，．（1）的长为 ．（2）如图 3，过、两点作与轴的负半轴交于点，与的延长线交于点，连接、，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么？如果不变，请求出的值．3．（2024•荆州）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点、的坐标分别是，、，， 则、这 两 点 间 的 距 离 为． 如，， 则．对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点关于 轴的对称点为点，过点作直线 平行于 轴．（1）到点的距离等于线段长度的点的轨迹是 ；（2）若动点满足到直线 的距离等于线段的长度，求动点轨迹的函数表达式；问题拓展：（3）若（2）中的动点的轨迹与直线交于、两点，分别过、作直线的垂线，垂足分别是、，求证：①是外接圆的切线；②为定值．4．（2024•滨州模拟）如图，为等腰的外接圆，直径，为弧上任意一点（不与，重合），直线交延长线于点，在点处切线交于点，（1）若，求证：平分；（2）若，求的长度；（3）证明：无论点在弧上的位置如何变化，为定值．5．（2024•鹿城区校级一模）在平面直角坐标系中，正方形，，，，现有一个动点从点出发，向轴的负方向运动，速度为每秒 1 个单位，同时另一个动点以相同的速度．从点出发，向 轴正方向运动，作直线，交射线于，设两运动点运动的时间为 秒．（1）求证：；（2）求出直线的解析式（用含的...
