圆中的新定义问题1．（2025•淮安模拟）在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．（1）已知，，① 在点，，中，线段的融合点是 ；② 若直线上存在线段的融合点，求 的取值范围；（2）已知的半径为 4，，，直线 过点，记线段关于 的对称线段为．若对于实数 ，存在直线 ，使得上有的融合点，直接写出 的取值范围．2．（2025•西城区校级模拟）在平面内，为线段外的一点，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，则称为线段的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称为线段的等腰直角点．（1）如图 1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在点，，，中，线段的直角点是 ；（2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．① 若，如图 2 所示，若是线段的直角点，且点在直线上，求点的坐标；② 如图 3，点的坐标为，的半径为 1，若上存在线段的等腰直角点，求出的取值范围．3．（2025•秀洲区校级二模）婆罗摩芨多是公元 7 世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；（1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是 ．（填序号）① 矩形②菱形③正方形（2）如图 1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长；（3）如图 2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知，① 求证：四边形是“婆氏四边形”；② 当时，求半径的最小值．4．（2025 秋 西城区期末）•给定图形和点，，若图形上存在两个不重合的点，，使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合．在平面直角坐标系中，已知点，，．（1）在点，，中，与点关于线段双对合的点是 ；（2）点是 轴上一动点，的直径为 1，① 若点与点关于双对合，求 的取值范围；② 当点运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点的横坐标的取值范围．5．（2025•钟楼区模拟）概念认识平面内，为图形上任意一点，为上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到的“最近距离”，记作．例：如图 1，在直线 上有、、三点，以为对角线作正方形，以点为圆心作圆，与 交于、两点，若将正方形记为图形，则、两点间的距离称为图形到的“最近距离”．数学理解（1）在平...
