专题 08 十字模型综合应用（知识解读）【专题说明】 “十字架模型”十数学平面几何中比较重要的一个模型。常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。这些结论对我们分析一些几何问题会比较大的帮助。【方法技巧】类型一：【十字架模型】--正方形第一种情况：过顶点在 正 方 形 ABCD 中 ， AEBF⊥， 可 得 AE=BF ， 借 助 于 同 角 的 余 角 相 等 ， 证 明△BAFADE≌△（ASA）所以 AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 边上的点，其中：EGFH⊥，可得EG=FH也可以如下证明在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别 AB、BC、CD、DA 边上的点，其中：EGFH⊥，可得EG=FH类型二：【十字架模型】--矩形在矩形 ABCD 中，AB=a，AD=b，其中：AEBF⊥，探究 AE 与 BF 的关系；可证：△ADEBAF ∽△所以在矩形 ABCD 中，AB=a，AD=b，E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 边上的点，其中：EGFH⊥，探究 EG 与 FH 的关系【解答】可证：△ADNBAM∽△∴∴但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立在矩形 ABCD 中，AB=a，AD=b，其中 EGFH⊥，探究 EG 与 FH 的关系可证△EOHGOF∽△【典例分析】【典例 1-1】基本模型如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD，DC 边上，且 AF⊥BE．结论：①△ABE△DAF； ② AF＝BE；请证明【基本模型】中的结论．求证：①△ABE≌△DAF；② AF＝BE．自主探究：若将已知条件 AF⊥BE 改为 AF＝BE，是否可以得到 AF⊥BE？进而是否可以探究 AF 与 BE 交点的轨迹？【典例 1-2】模型演变①如图①，在正方形 ABCD 中，点 E，F，G 分别在 DC，AD，BC 边上，且 AE⊥GF．结论：AE＝GF模型演变②如图②，在正方形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别在 AB，DC，BC，AD 边上，且EF⊥GH．结论：EF＝GH请证明【模型演变②】的结论，求证：EF＝GH．自主探究：在【模型演变①】和【模型演变②】中，若将已知条件中两线段垂直与结论中两线段相等互换，判断结论是否还成立？请选择其中一个图形进行证明．【典例 2-1】模型演变③如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 边上，且 CE⊥BD．结论：△DCE∽△ADB请证明【模型演变③】的结论．求证：△DCE∽△ADB．【典例 2-2】模型演变④如图，在矩形 ...
