专题 10 三角形中的重要模型-垂美四边形与 378、578 模型模型 1、垂美四边形模型规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形 图 1 图 2 图 3 条件：如图 1，已知四边形 ABCD，对角线 AC、BD 交于点 O，且 AC⊥BD；结论：① AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。【变形 1】条件：如图 2，在矩形 ABCD 中，P 为 CD 边上有一点，连接 AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2【变形 2】条 件 ： 如 图 3 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， P 为 矩 形 内 部 任 意 一 点 ， 连 接 AP 、 BP ， CP ， DP ； 结 论 ：AP2+PC2=DP2+BP2用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。例 1．（2025·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线 AC、BD 交于点 O．若 AD=3，BC=5，则____________．例 2．（2025 秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形的对角线，互相垂直，若，，则的长为（ ）A．2.5B．3C．4D．例 3．（2025·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，AC、BD 是方程的两个解，则四边形的面积是（ ）A．60B．30C．16D．32例 4．（2025·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图 1、图 2，P 是矩形 ABCD 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图 3，在△ABC 中，CA＝4，CB＝6，D 是△ABC 内一点，且 CD＝2，∠ADB＝90°，则 AB 的最小值为_____．例 5．（2025·山东济宁·统考一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________．(2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你直接写出一个以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的勾股四边形的顶点 M 的坐标为________；(3)如图（2），将绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°，得到，连接，，．求证：，即四边形是勾股四边形；(4)若将图（2）中绕顶点 B 按顺时针方向旋转 a 度，得到，连接，，则________°，四边形是勾股四边形．例 6．（2...
