专题 31 圆中的重要模型之四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高
相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单
本文主要介绍四点共圆的四种重要模型
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”
模型 1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆
这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合
条件：如图，平面内有五个点 O、A、B、C、D，使得 OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D 四点共圆（其中圆心为 O）
例 1．（2025 春·广东梅州·九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边重合（），其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点 E，第 20 秒时点 E 在量角器上运动路径长是 ． 例 2．（2024·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点 E 是 AB 上的动点，连结，点，G 分别是 BC，DE 的中点，连接，，当 AG=FG时，线段长为（ ）A．B．C．D．4例 3．（2025·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点 A 逆时针旋转得到，连接，过点 D 作的垂线，垂足 E 在线段上，连接．若，，则的度数为 ． 例 4．（2024·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为 ；若，则的值为 ．模型 2、定边对双直角共圆模型ABCDE EDCBA 同侧型 异侧型1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上
