专题 31 圆中的重要模型之四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。模型 1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点 O、A、B、C、D，使得 OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D 四点共圆（其中圆心为 O）。例 1．（2025 春·广东梅州·九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边重合（），其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点 E，第 20 秒时点 E 在量角器上运动路径长是 ． 例 2．（2024·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点 E 是 AB 上的动点，连结，点，G 分别是 BC，DE 的中点，连接，，当 AG=FG时，线段长为（ ）A．B．C．D．4例 3．（2025·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点 A 逆时针旋转得到，连接，过点 D 作的垂线，垂足 E 在线段上，连接．若，，则的度数为 ． 例 4．（2024·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为 ；若，则的值为 ．模型 2、定边对双直角共圆模型ABCDE EDCBA 同侧型 异侧型1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上 A、B、C、D 四个点满足，结论：A、B、C、D 四点共圆，其中 AD 为直径。2）定边对双直角模型（异侧型）条件：若平面上 A、B、C、D 四个点满足，结论：A、B、C、D 四点共圆，其中 AC 为直径。例 1．（2024·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ．例 2．（2025 春·山东·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图 1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E ...
