专题 38 重要的几何模型之中点模型（一）中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型 1：垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。如图，在三角形 ABC 中，DE⊥BC，且 D 为 BC 中点，则 BE=EC。模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。例 1．（2025·河北廊坊·校考三模）如图，已知在菱形中，连接对角线，作边的垂直平分线，分别交、、于点、、，若，则的度数是（ ） A．B．C．D．例 2．（2025 上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，已知，以 A，B 两点为圆心的长为半径画圆弧，两弧相交于点 M，N，则的周长为（ ）A．8B．C．D．例 3．（2025·山东济南·统考二模）如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两 点，作直线交于点，若，则的面积为（ ） A．2B．C．D．4例 4．（2025 上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ．例 5．（2025·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，中，，点 D 在边上，连接，点E 是的中点，交于点 F，，若，，则的长为 ．例 6．（2025 上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，为钝角，边的垂直平分线分别交于点 D，E．(1)若，求的大小；(2)若的平分线和边的垂直平分线相交于点 F，过点 F 作垂直于的延长线于点 G，求证：．模型 2：等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边上的中点，则∠BAD =∠CAD，AD⊥BC， BD=CD。模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。例 1．（2025·河南驻马店·校考三模）如图，在中，分别以点 A，C 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧...
