厦门大学第十二届“景润杯”数学竞赛试卷（理工类）参考答案一、求下列各题极限（每小题4分，共8分）（1）求极限.解一：…………………………..1分…………………………..2分……………………………….1分……………………………………..1分解二：………………………………………..1分……………………2分…………………………….1分…………………………………..1分其中在之间.(2)设，求极限.解一：由题设条件知，对，，且，即严格单增，所以,，，即有，故…………………….3分所以，，……………………….1分由得………………………..1分解二：用归纳法证明：，事实上，当时，结论成立。假设结论对时成立.则当时，……………………….3分因此，……………………….1分由得.……………………….1分二、（8分）设可微函数满足，求.解：……………………….2分……………………….2分……………………….2分……………………….1分……………………….1分三、（8分）设函数满足()，其中都是非零常数，且，求的导数.解：由已知条件，当时，,.…………….1分，得，即,,……………….2分则,..…………….1分令，则.……………………….2分，且.……….….2分四、（8分）设函数在上有连续的导数，且，证明至少存在一点，使得.证明：构造辅助函数，……………………….2分则在上连续可导，且，………………….1分若对，则有下面两种情况对，此时单调增加，，，从而，这与矛盾，……………………….2分对，此时单调减少，，，从而，这与矛盾。………………………2分从而至少存在一点，使得.……………………….1分五、（8分）证明不等式.证明：设,…………………….1分则，……………………….1分令解得驻点为………………….1分在区间上，仅有唯一的一个零点，且当时，，当时，.又,因此在上，，从而在上，单调增加，且.………………………2分类似地，在区间上，仅有唯一的一个零点，且当时，，当时，.又，因此在上，，从而在上单调减少，且.………………………2分综上所述，在区间上恒大于零，即在上的最小值为，即，从而不等式成立。………………………1分六、（10分）设幂级数的系数满足，求此幂级数的收敛半径及和函数.解：首先用数学归纳法证明对，即数列有下界1.当k=1时，，假设k=n-1时，，当k=n时，，故，由归纳法假设，数列有下界1.又，即，数列是单调降的，故有.………………………2分且，，所以幂级数的收敛半径.………………………1分设，则，由条件，当时，有…………………2分………………………1分解此一阶线性微分方程，得.………………………3分由，得，故，.………………………1分七、（10分）设是上的连续函数，且对有（称具有反序性）（1）证明：（2）利用（1）的结论，证明：若是上的连续函数，且对有，则.证：（1）由得……………………1分不等式两端在D上求二重积分，其中，即……………………2分即.………………………2分另解：做辅助函数.……………………1分.………………………1分………………………2分故，即……………….………1分（2）由于对有，即与在上[0,1]具有反序性，……………….………2分则由(1)，……………….………2分因为，所以.……………….………1分八、（10分）已知曲线，在纵坐标为的点处的切线为，是通过且与曲面相切的平面，求的方程.解：若以为参数，曲线C的参数方程为，在对应点处的切向量为，……………….………1分所以在点处的切线的方程为，或者……………….………1分过的平面束方程为，即（1）…………….………2分记，设与曲面的切点为，则曲面在点处的法向量为，由于所求的平面与相切，因此应满足，由此可得，.………….………3分因为在上，则,……………….………1分又因为也应在上，将其代入（1）得，即，解得，……………….………1分因而得到所求的的平面方程为或.……………….………1分九、（10分）设分别是函数在上的最大值和最小值，是连接原点与点的位于第一象限内的光滑曲线，并且与线段围成的闭区域的面积为1，求关于坐标的曲线积分.（其中为逆时针方向）解：先确定，再计算.由的积分表达式，于是的根为..…………...
