§2.3 函数的奇偶性与周期性考纲展示► 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．考点 1 函数奇偶性的判断函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有________，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于________对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有________，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于________对称答案：f(－x)＝f(x) y 轴 f(－x)＝－f(x)原点[教材习题改编] 函数 f(x)＝x3, f(x)＝x4，f(x)＝x2－，f(x)＝＋|x|中，偶函数的个数是__________．答案：2解析：f(x)＝x4和 f(x)＝x2－为偶函数．判断函数奇偶性的易错点：忽略定义域；变形错误．(1)函数 f(x)＝(x＋1)在定义域上是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案：非奇非偶解析：要使函数有意义，必须使≥0，即≤0，解得－11 时，－x<－1，所以 f(－x)＝(－x)2－2＝－(－x2＋2)＝－f(x)；当 x<－1 时，－x>1，所以 f(－x)＝－(－x)2＋2＝－(x2－2)＝－f(x)；当|x|≤1 时，f(－x)＝0＝－f(x)．综上可知 f(x)是奇函数．[典题 1] 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xlg(x＋)；(2)f(x)＝(1－x)；(3)f(x)＝ (4)f(x)＝.[解] (1) ＞|x|≥0，∴函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又 f(－x)＝(－x)lg[－x＋]＝－xlg(－x)＝xlg(＋x)＝f(x)．即 f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当且仅当≥0 时函数有意义，∴－1≤x＜1，由于定义域关于原点不对称，∴函数 f(x)是非奇非偶函数．(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 x＞0 时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)．∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．(4) ⇒－2≤x≤2 且 x≠0，∴函数的定义域关于原点对称．∴f(x)＝＝，又 f(－x)＝＝－，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．[点石成金] 判定函数奇偶性的三种常用方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：① 设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．...
