§9.8 曲线与方程考纲展示► 考点 1 直接法求轨迹方程1.曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是________的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是________的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．答案：(1)这个方程 (2)曲线上2．求曲线方程的基本步骤[典题 1] (1)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.① 求动圆圆心的轨迹 C 的方程；② 已知点 B(－1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定点．①[解] 如图，设动圆圆心为 O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当 O1不在 y 轴上时，过 O1作 O1H⊥MN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点．∴|O1M|＝，又|O1A|＝，∴＝，化简得 y2＝8x(x≠0)．当 O1在 y 轴上时，O1与 O 重合，点 O1的坐标(0,0)也满足方程 y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2＝8x.②[证明] 由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 y＝kx＋b 代入 y2＝8x，得k2x2＋(2kb－8)x＋b2＝0.其中 Δ＝－32kb＋64>0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝，①x1x2＝，②因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以＝－，即 y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①②代入③，得 2kb2＋(k＋b)(8－2kb)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时 Δ>0，∴直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，即直线 l 过定点(1,0)．(2)在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP与 BP 的斜率之积等于－.求动点 P 的轨迹方程．[解] 因为点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称，所以点 B 的坐标为(1，－1)．设点 P 的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)．故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠±1)．[点石成金] 直接法求曲线方程时，最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系，则可省...
