第 5 讲 导数与函数零点、不等式问题高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题．真 题 感 悟(2018·浙江卷)已知函数 f(x)＝－ln x.(1)若 f(x)在 x＝x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)＋f(x2)>8－8ln 2；(2)若 a≤3－4ln 2，证明：对于任意 k>0，直线 y＝kx＋a 与曲线 y＝f(x)有唯一公共点．证明 (1)函数 f(x)的导函数 f′(x)＝－，由 f′(x1)＝f′(x2)得－＝－，因为 x1≠x2，所以＋＝.由基本不等式得＝＋≥2，因为 x1≠x2，所以 x1x2>256.由题意得 f(x1)＋f(x2)＝－ln x1＋－ln x2＝－ln(x1x2)．设 g(x)＝－ln x，则 g′(x)＝(－4)，所以 x>0 时，g′(x)、g(x)的变化情况如下表：x(0，16)16(16，＋∞)g′(x)－0＋g(x)2－4ln 2所以 g(x)在[256，＋∞)上单调递增，故g(x1x2)>g(256)＝8－8ln 2，即 f(x1)＋f(x2)>8－8ln 2.(2)令 m＝e－(|a|＋k)，n＝＋1，则f(m)－km－a>|a|＋k－k－a≥0，f(n)－kn－a0，直线 y＝kx＋a 与曲线 y＝f(x)有唯一公共点．考 点 整 合1．利用导数研究函数的零点函数的零点、方程的实根、函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解．2．三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当 x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可．存在两个极值点 x1，x2且 x10两个f(x1)＝0 或者 f(x2)＝0三个f(x1)＞0 且 f(x2)＜0a＜0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值)一个f(x1)>0 或...
