§12.3 数学归纳法考纲展示► 1.了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．考点 1 用数学归纳法证明等式 数学归纳法的定义及框图表示(1)定义：证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：① 证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基．② 假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立，这一步是归纳递推．完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立．(2)框图表示：答案：(1)②n＝k＋1[典题 1] 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．[证明] (1)当 n＝1 时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设 n＝k(k∈N*)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，则当 n＝k＋1 时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．由(1)(2)可知，对于一切 n∈N*等式都成立．[点石成金] 用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题(1)明确初始值 n0的取值并验证 n＝n0时等式成立．(2)由 n＝k 证明 n＝k＋1 时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．考点 2 用数学归纳法证明不等式 [典题 2] 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)．[证明] (1)当 n＝2 时，1＋＝<2－＝，命题成立．(2)假设 n＝k 时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－.当 n＝k＋1 时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立．由(1)(2)知，原不等式在 n∈N*，n≥2 时均成立．[点石成金] 用数学归纳法证明不等式应注意的两个问题(1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 成立，推证 n＝k＋1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.已知数列{an}，当 n≥2 时，an<－1，又 a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当 n∈N*时，an＋1
0，又 ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，∴ak＋2－ak＋1<0，∴ak＋2
