第 6 讲 空间向量的运算及应用1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在唯一的实数 λ，使得 a ＝ λ b ．(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p ＝ x a ＋ y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p ＝ x a ＋ y b ＋ z c ．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈 a ， b 〉 ．通常规定 0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝，则称向量 a，b 互相垂直，记作 a⊥b.(2)两向量的数量积两个非零向量 a，b 的数量积 a·b＝| a || b | cos 〈 a ， b 〉 ．(3)向量的数量积的性质①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中 e 为单位向量)；②a⊥b⇔a · b ＝ 0 ；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|≤|a||b|.(4)向量的数量积满足如下运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a · b ＋ a · c (分配律)．3．空间向量的坐标运算(1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，cos〈a，b〉＝＝ .(2)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝OB－OA＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1， z 2－ z 1)．4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称AB为直线 l 的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量① 定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．② 确定：设 a，b 是平面 α 内两不共线向量，n 为平面 α 的法向量，则求法向量的方程组为5．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝ λ n 2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1· n...
