第 1 课时 导数与函数的单调性函数的单调性与导数的关系条件结论函数 y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数[提醒] (1)利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；(2)对函数划分单调区间时，需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点；(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个 ，那么单调区间之间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接；(4)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)>0.( )(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( )(3)在(a，b)内 f′(x)≤0 且 f′(x)＝0 的根有有限个，则 f(x)在(a，b)内是减函数．( )答案：(1)× (2)√ (3)√[教材衍化]1．(选修 2－2P32A 组 T4 改编)如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间(－2，1)上 f(x)是增函数B．在区间(1，3)上 f(x)是减函数C．在区间(4，5)上 f(x)是增函数D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值解析：选 C.在(4，5)上 f′(x)>0 恒成立，所以 f(x)是增函数．2．(选修 2－2P26 练习 T1(2)改编)函数 f(x)＝ex－x 的单调递增区间是________．解析：因为 f(x)＝ex－x，所以 f′(x)＝ex－1，由 f′(x)>0，得 ex－1>0，即 x>0.答案：(0，＋∞)[易错纠偏]忽视函数的定义域.函数 f(x)＝x－ln x 的单调递减区间为________．解析：由 f′(x)＝1－<0，得>1，即 x<1，又 x>0，所以函数 f(x)的单调递减区间为(0，1)．答案：(0，1) 利用导数判断或证明函数的单调性 讨论函数 f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1 的单调性．【解】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.① 当 a≥1 时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；② 当 a≤0 时，f′(x)<0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③ 当 0
0，故 f(x)在(0, )上单调递减，在( ，＋∞)上单调递增． (2020·温州模拟)设函数 f(x)＝xln(ax)(a＞0)．设 F(x)＝f(1)x2＋f′(x)，讨论函数 F(x)的单调性．解：f′(x)＝ln(ax)＋1，所以 ...
