第 3 课时 导数与函数的综合问题 利用导数研究函数的零点(方程根)的问题(高频考点)利用导数研究函数的零点(方程根)的问题，是高考的重点，常出现在解答题的某一问中，难度偏大，主要命题角度有：(1)利用最值(极值)判断零点个数；(2)构造函数法研究零点问题．角度一 利用最值(极值)判断零点个数 已知函数 f(x)＝－ax2＋(1＋a)x－ln x(a∈R)．(1)当 a＞0 时，求函数 f(x)的单调递减区间；(2)当 a＝0 时，设函数 g(x)＝xf(x)－k(x＋2)＋2.若函数 g(x)在区间[，＋∞)上有两个零点，求实数 k 的取值范围．【解】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)的导数为 f′(x)＝－ax＋1＋a－＝－(a＞0)，① 当 a∈(0，1)时，＞1.由 f′(x)＜0，得 x＞或 a＜1.所以 f(x)的单调递减区间为(0，1)，；② 当 a＝1 时，恒有 f′(x)≤0，所以 f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；③ 当 a∈(1，＋∞)时，＜1.由 f′(x)＜0, 得 x＞1 或 x＜.所以 f(x)的单调递减区间为(0，)，(1，＋∞)．综上，当 a∈(0，1)时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，；当 a＝1 时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当 a∈(1，＋∞)时，f(x)的单调递减区间为(0，)，(1，＋∞)．(2)g(x)＝x2－xln x－k(x＋2)＋2 在 x∈[，＋∞)上有两个零点，即关于 x 的方程 k＝在 x∈[，＋∞)上有两个不相等的实数根．令函数 h(x)＝，x∈[，＋∞)，则 h′(x)＝，令函数 p(x)＝x2＋3x－2ln x－4，x∈[，＋∞)．则 p′(x)＝在[，＋∞)上有 p′(x)≥0，故 p(x)在[，＋∞)上单调递增．因为 p(1)＝0，所以当 x∈[，1)时，有 p(x)＜0，即 h′(x)＜0，所以 h(x)单调递减；当 x∈(1，＋∞)时，有 p(x)＞0，即 h′(x)＞0，所以 h(x)单调递增．因为 h＝＋，h(1)＝1，所以 k 的取值范围为.角度二 构造函数法研究零点问题 设函数 f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 m≥1 时，讨论函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数．【解】 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝，m≤0 时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，m＞0 时，f′(x)＝，当 0＜x＜时，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减，当 x＞时，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增．综上 m≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；m＞0 时，函数 f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．(2)令 F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mln x，x＞0...
